📈 等差数列等比数列计算器 — 通项公式 / 求和 / 数列识别
输入首项、公差（公比）与项数，自动求出通项公式 aₙ、前 n 项和 Sₙ、前 20 项列表，并展示完整的公式代入过程。 等比数列还支持无穷递缩等比求和与收敛性判断。另附数列识别器：粘贴一串数字，自动判断等差 / 等比、给出通项并预测后 3 项。 高一必修五数列章节、高考数学复习必备。
q 可为小数 / 负数，但不能为 0
🔍 数列识别器 — 粘一串数字，自动判断类型
用空格、逗号、顿号或换行分隔均可，至少输入 3 个数字。工具会自动检测是否为等差 / 等比数列， 给出公差或公比、通项公式，并预测后面 3 项。
📖 数列公式速查表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
|---|---|---|
| 定义 | aₙ₊₁ − aₙ = d（常数） | aₙ₊₁ ÷ aₙ = q（常数，q ≠ 0） |
| 通项公式 | aₙ = a₁ + (n − 1)d | aₙ = a₁ · qn−1 |
| 推广通项 | aₙ = aₘ + (n − m)d | aₙ = aₘ · qn−m |
| 前 n 项和 | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n−1)d/2 | q ≠ 1 时 Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q)；q = 1 时 Sₙ = na₁ |
| 中项性质 | 若 m + n = p + q，则 aₘ + aₙ = a_p + a_q | 若 m + n = p + q，则 aₘ · aₙ = a_p · a_q |
| 中项公式 | 等差中项 A = (a + b)/2 | 等比中项 G² = ab（G = ±√(ab)） |
| 无穷和 | d ≠ 0 时必发散 | |q| < 1 时收敛：S = a₁/(1 − q) |
| Sₙ 的形式 | Sₙ = (d/2)n² + (a₁ − d/2)n，是不含常数项的二次函数 | q ≠ 1 时 Sₙ = A·qⁿ − A，其中 A = a₁/(1−q) |
💡 数列解题要点
- 「(n−1)」不要写成「n」：通项 aₙ = a₁ + (n−1)d，第 1 项对应 n=1，此时 (n−1)d = 0，正好等于 a₁
- 求和两个公式随用随选：知道末项 aₙ 用 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2（首尾相加倒序相加法）；只知道 d 用 Sₙ = na₁ + n(n−1)d/2
- 等比求和必须先讨论 q 是否为 1：q = 1 时公式分母 (1−q) = 0，此时 Sₙ = na₁，考试最常见的丢分点
- 无穷等比求和的前提是 |q| < 1：如 1 + 1/2 + 1/4 + … = 1/(1−1/2) = 2；若 |q| ≥ 1 则级数发散，没有有限和
- 等比数列 a₁ ≠ 0 且 q ≠ 0：数列中任何一项都不能为 0，否则无法做除法
- 判断等差用作差、判断等比用作商：证明题必须写「aₙ₊₁ − aₙ = 常数」而非只验证前几项
🚀 你可能也用得上
📘 使用说明
- 切换等差数列或等比数列标签
- 填写首项、公差（公比）与项数
- 查看通项公式、前 n 项和与前 20 项列表
- 使用数列识别器粘贴数字自动判断类型并预测下 3 项
❓ 常见问题
Q: 等差数列求和公式怎么记？
A: Sn = n(a1 + an)/2，也就是首末两项平均值乘项数。这就是高斯算 1 加到 100 的方法：首尾配对，每对都是 101，共 50 对。展开成只含首项和公差的形式是 Sn = n·a1 + n(n−1)d/2。
Q: 无穷等比数列什么时候能求和？
A: 只有当公比的绝对值小于 1 时才收敛，和为 a1/(1−q)。比如 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1/(1−0.5) = 2。当 |q| ≥ 1 时级数发散，没有有限和。
Q: 怎么快速判断一串数是等差还是等比？
A: 相邻两项相减，差值恒定就是等差；相邻两项相除，比值恒定就是等比。如果两者都不满足，可以试试二阶差分（差的差）恒定，那可能是二次型数列，或者观察是否为斐波那契型递推。
