🎲 排列组合计算器 — A(n,r) / C(n,r) / 阶乘 / 杨辉三角
输入 n 和 r，一次算出排列数 A(n,r)、组合数 C(n,r)、可重复排列 nʳ、可重复组合、全排列 n!、圆排列 (n−1)!， 每个结果都附公式代入与阶乘展开过程。内置大整数阶乘计算器（精确到上千位，不用科学计数法）与杨辉三角生成器。 高中数学计数原理、概率统计作业与竞赛复习必备。
① 排列数 / 组合数计算
② 阶乘计算器（大整数精确值）
③ 杨辉三角生成器
杨辉三角（帕斯卡三角）中，第 n 行第 r 个数就等于组合数 C(n, r)（行号与位置均从 0 开始计数）。 例如第 4 行是 1 4 6 4 1，对应 C(4,0)=1、C(4,1)=4、C(4,2)=6、C(4,3)=4、C(4,4)=1。 每个数等于它左上方与右上方两数之和，即恒等式 C(n,r) = C(n−1,r−1) + C(n−1,r)； 第 n 行所有数之和为 2ⁿ，这正是 n 元集合子集总数。鼠标悬停可高亮，标签显示行号。
📖 六种计数公式一览
| 名称 | 公式 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 排列数 A(n,r) | n! / (n−r)! | 从 n 个不同元素取 r 个排成一列，讲顺序。如 10 人选 3 人分任正、副、书记 |
| 组合数 C(n,r) | n! / (r!·(n−r)!) | 从 n 个不同元素取 r 个组成一组，不讲顺序。如 10 人选 3 人组成小组 |
| 可重复排列 nʳ | n × n × … × n（r 个） | 每次都从全部 n 个中取，可重复。如 4 位数字密码 = 10⁴ |
| 可重复组合 | C(n+r−1, r) | 取 r 个可重复且不讲顺序。如 3 种口味买 5 个甜甜圈的搭配数（隔板法） |
| 全排列 n! | n × (n−1) × … × 1 | n 个元素全部排成一列，即 A(n,n) |
| 圆排列 (n−1)! | n! / n | n 个人围圆桌就座，旋转后相同视为同一种 |
💡 排列组合常见易错点
- 先判断"是否讲顺序"：讲顺序用排列 A，不讲顺序用组合 C。两者关系 A(n,r) = C(n,r) × r!
- 对称性：C(n,r) = C(n, n−r)，算 C(100,98) 时应转成 C(100,2)=4950，避免大数运算
- 0! = 1，这是约定（空排列只有一种），所以 C(n,0) = C(n,n) = 1
- r > n 时 A(n,r) 与 C(n,r) 均为 0（不可能取出比总数还多的元素）；但可重复排列 nʳ 依然有意义
- 圆排列要除以 n（旋转等价）；若翻转也视为相同（如项链），还要再除以 2，得 (n−1)!/2
- 分步用乘法、分类用加法：这是解决所有计数问题的两条根本原理
🚀 你可能也用得上
📘 使用说明
- 填写总数 n 与选取数 r
- 查看排列数、组合数等六种计算结果与公式代入
- 使用阶乘模块计算大数阶乘的精确值
- 使用杨辉三角模块生成任意行数的三角并对照组合数
❓ 常见问题
Q: 排列和组合怎么区分？
A: 看顺序是否影响结果。选班长和副班长要区分谁是谁，用排列 A(n,2)；选两个人去开会不分先后，用组合 C(n,2)。一句话记：有序用排列，无序用组合，A(n,r) = C(n,r) × r!。
Q: 为什么 0! 等于 1？
A: 从组合意义看，C(n,n) = n!/(n!·0!) 应该等于 1（从 n 个里全选只有一种方式），所以 0! 必须定义为 1。从递推式 n! = n × (n−1)! 反推，1! = 1 × 0! 也要求 0! = 1。
Q: 阶乘为什么会超出计算器范围？
A: 阶乘增长极快，21! 就超过了 JavaScript 的安全整数上限 2^53−1，171! 超过双精度浮点的最大值变成无穷大。本工具用大整数字符串乘法实现，可以给出上百位的精确结果而不是科学计数法近似值。
