∫ 导数与积分公式表 + 多项式求导积分计算器
收录28 条基本导数公式与30 条基本积分公式，配齐求导四则法则、链式法则、隐函数与参数方程求导，
以及换元积分、分部积分、有理函数积分方法。下方计算器可直接输入形如 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7 的多项式，
自动求出任意阶导数、不定积分与定积分，并给出逐项计算过程。另附常见极限、洛必达法则与泰勒展开常用式。
🧮 多项式求导 / 积分计算器
支持写法：
3x^4、-2x^2、5x、-7、0.5x^3、x^-2、3*x^2、2x**3。
项与项之间用 + / - 连接，不支持括号、分式与三角函数。
📋 逐项计算过程
① 基本导数公式表（28 条）
| # | 原函数 f(x) | 导函数 f ′(x) | 说明与定义域 |
|---|---|---|---|
| 1 | C（常数） | 0 | 常数的导数恒为 0 |
| 2 | x | 1 | 幂函数 n = 1 的特例 |
| 3 | xn | n·xn−1 | 幂函数求导法则，n 为任意实数 |
| 4 | x2 | 2x | 最常用的特例 |
| 5 | √x = x1/2 | 1 ÷ (2√x) | x > 0 |
| 6 | 1/x = x−1 | −1 ÷ x2 | x ≠ 0 |
| 7 | ∛x = x1/3 | 1 ÷ (3x2/3) | x ≠ 0 |
| 8 | ex | ex | 唯一导数等于自身的函数（差常数倍） |
| 9 | ax | ax·ln a | a > 0 且 a ≠ 1 |
| 10 | ekx | k·ekx | 链式法则的直接结果 |
| 11 | ln x | 1 ÷ x | x > 0 |
| 12 | ln|x| | 1 ÷ x | x ≠ 0，积分中常用 |
| 13 | logax | 1 ÷ (x·ln a) | x > 0，a > 0 且 a ≠ 1 |
| 14 | ln(ax + b) | a ÷ (ax + b) | ax + b > 0 |
| 15 | sin x | cos x | x ∈ ℝ |
| 16 | cos x | −sin x | 注意负号 |
| 17 | tan x | sec2x = 1 ÷ cos2x | x ≠ π/2 + kπ |
| 18 | cot x | −csc2x = −1 ÷ sin2x | x ≠ kπ |
| 19 | sec x | sec x · tan x | x ≠ π/2 + kπ |
| 20 | csc x | −csc x · cot x | x ≠ kπ |
| 21 | sin(ωx + φ) | ω·cos(ωx + φ) | 复合函数，物理中简谐运动求速度 |
| 22 | arcsin x | 1 ÷ √(1 − x2) | −1 < x < 1 |
| 23 | arccos x | −1 ÷ √(1 − x2) | −1 < x < 1 |
| 24 | arctan x | 1 ÷ (1 + x2) | x ∈ ℝ |
| 25 | arccot x | −1 ÷ (1 + x2) | x ∈ ℝ |
| 26 | sinh x | cosh x | 双曲正弦，sinh x = (ex−e−x)/2 |
| 27 | cosh x | sinh x | 双曲余弦，没有负号 |
| 28 | xx | xx(ln x + 1) | x > 0，用对数求导法 |
② 求导法则
| 法则 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 和差法则 | (u ± v)′ = u′ ± v′ | 可推广到有限个函数 |
| 数乘法则 | (k·u)′ = k·u′ | 常数因子可以提到求导符号外 |
| 乘积法则 | (uv)′ = u′v + uv′ | 口诀「前导后不导 + 前不导后导」 |
| 三因子乘积 | (uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′ | 依次对每个因子求导 |
| 商的法则 | (u/v)′ = (u′v − uv′) ÷ v2 | v ≠ 0，分子先减后加会出错 |
| 倒数法则 | (1/v)′ = −v′ ÷ v2 | 商法则中 u = 1 的特例 |
| 链式法则 | y = f(u)，u = g(x) ⟹ y′x = f ′(u)·g′(x) | 「由外向内层层求导再相乘」 |
| 反函数求导 | dy/dx = 1 ÷ (dx/dy) | 要求反函数存在且导数不为零 |
| 隐函数求导 | 对 F(x, y) = 0 两边同时对 x 求导，把 y 看作 x 的函数 | 遇到 y 就要乘上 y′（链式法则） |
| 参数方程求导 | x = φ(t)，y = ψ(t) ⟹ dy/dx = ψ′(t) ÷ φ′(t) | 二阶：d2y/dx2 = [d(dy/dx)/dt] ÷ φ′(t) |
| 对数求导法 | 两边取 ln 再求导：(ln y)′ = y′/y | 适合幂指函数 u(x)v(x) 与多因子连乘 |
| 高阶导数 | f(n)(x) = [f(n−1)(x)]′ | (xm)(n) = m(m−1)…(m−n+1)xm−n |
| 莱布尼茨公式 | (uv)(n) = Σ C(n,k)·u(n−k)·v(k) | 与二项式定理形式相同 |
| 导数几何意义 | k = f ′(x0)，切线：y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0) | 导数即曲线在该点切线的斜率 |
| 单调性判定 | f ′(x) > 0 单调递增；f ′(x) < 0 单调递减 | 在区间内恒成立（个别点为 0 不影响） |
| 极值判定 | f ′(x0) = 0 且左右导数变号 | f ″(x0) < 0 取极大，> 0 取极小 |
③ 基本积分公式表（30 条，均省略常数 C 的说明）
| # | 不定积分 | 结果 | 条件 |
|---|---|---|---|
| 1 | ∫ k dx | kx + C | k 为常数 |
| 2 | ∫ xn dx | xn+1 ÷ (n+1) + C | n ≠ −1 |
| 3 | ∫ (1/x) dx | ln|x| + C | x ≠ 0，n = −1 的特殊情形 |
| 4 | ∫ √x dx | (2/3)x3/2 + C | x ≥ 0 |
| 5 | ∫ ex dx | ex + C | x ∈ ℝ |
| 6 | ∫ ekx dx | ekx ÷ k + C | k ≠ 0 |
| 7 | ∫ ax dx | ax ÷ ln a + C | a > 0 且 a ≠ 1 |
| 8 | ∫ sin x dx | −cos x + C | 注意负号 |
| 9 | ∫ cos x dx | sin x + C | x ∈ ℝ |
| 10 | ∫ sin(ωx) dx | −cos(ωx) ÷ ω + C | ω ≠ 0 |
| 11 | ∫ sec2x dx | tan x + C | 即 ∫ dx/cos2x |
| 12 | ∫ csc2x dx | −cot x + C | 即 ∫ dx/sin2x |
| 13 | ∫ sec x·tan x dx | sec x + C | x ≠ π/2 + kπ |
| 14 | ∫ csc x·cot x dx | −csc x + C | x ≠ kπ |
| 15 | ∫ tan x dx | −ln|cos x| + C | 凑微分 d(cos x) |
| 16 | ∫ cot x dx | ln|sin x| + C | 凑微分 d(sin x) |
| 17 | ∫ sec x dx | ln|sec x + tan x| + C | 经典结论，需记忆 |
| 18 | ∫ csc x dx | ln|csc x − cot x| + C | 经典结论，需记忆 |
| 19 | ∫ sin2x dx | x/2 − sin 2x ÷ 4 + C | 降幂公式 sin²x = (1−cos2x)/2 |
| 20 | ∫ cos2x dx | x/2 + sin 2x ÷ 4 + C | 降幂公式 cos²x = (1+cos2x)/2 |
| 21 | ∫ dx ÷ (1 + x2) | arctan x + C | x ∈ ℝ |
| 22 | ∫ dx ÷ (a2 + x2) | (1/a)·arctan(x/a) + C | a ≠ 0 |
| 23 | ∫ dx ÷ √(1 − x2) | arcsin x + C | |x| < 1 |
| 24 | ∫ dx ÷ √(a2 − x2) | arcsin(x/a) + C | |x| < a，a > 0 |
| 25 | ∫ dx ÷ (x2 − a2) | (1 ÷ 2a)·ln|(x−a)/(x+a)| + C | |x| ≠ a |
| 26 | ∫ dx ÷ √(x2 ± a2) | ln|x + √(x2 ± a2)| + C | 又称「长对数公式」 |
| 27 | ∫ dx ÷ (ax + b) | (1/a)·ln|ax + b| + C | a ≠ 0 |
| 28 | ∫ ln x dx | x·ln x − x + C | 分部积分，取 u = ln x |
| 29 | ∫ x·ex dx | (x − 1)ex + C | 分部积分，取 u = x |
| 30 | ∫ √(a2 − x2) dx | (x/2)√(a2−x2) + (a2/2)arcsin(x/a) + C | 三角换元 x = a sin t |
④ 积分方法与常用性质
| 方法 | 公式 | 适用与技巧 |
|---|---|---|
| 线性性质 | ∫ [αf(x) ± βg(x)] dx = α∫f dx ± β∫g dx | 常数可提出，逐项积分 |
| 第一类换元（凑微分） | ∫ f(φ(x))·φ′(x) dx = ∫ f(u) du，u = φ(x) | 识别「内层函数的导数」是否已在被积式中 |
| 常用凑微分 | x dx = ½d(x2)，dx/x = d(ln x)，exdx = d(ex) | 凑微分技巧的核心记忆点 |
| 第二类换元（三角代换） | √(a2−x2) 令 x = a sin t；√(a2+x2) 令 x = a tan t；√(x2−a2) 令 x = a sec t | 换元后别忘了把 t 换回 x |
| 倒代换 / 根式代换 | 令 x = 1/t 或 t = ⁿ√(ax+b) | 分母次数远高于分子时用倒代换 |
| 分部积分 | ∫ u dv = uv − ∫ v du | 选 u 的口诀「反对幂指三」（优先级由高到低） |
| 有理函数积分 | 先做多项式除法化为真分式，再拆成部分分式 | 分母因式分解后按一次 / 二次因子拆项 |
| 部分分式（单根） | 1 ÷ ((x−a)(x−b)) = [1/(a−b)]·[1/(x−a) − 1/(x−b)] | 裂项后逐项积分成 ln |
| 三角有理式 | 万能代换 t = tan(x/2)，sin x = 2t/(1+t2)，cos x = (1−t2)/(1+t2) | 能算但通常较繁，优先考虑降幂或凑微分 |
| 牛顿-莱布尼茨公式 | ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) | F 是 f 的任一原函数；这是本页定积分计算器的依据 |
| 定积分区间可加性 | ∫ab = ∫ac + ∫cb | 分段函数积分必备 |
| 定积分换向 | ∫ab f dx = −∫ba f dx，∫aa f dx = 0 | 上下限交换变号 |
| 奇偶函数在对称区间 | 奇函数 ∫−aa = 0；偶函数 ∫−aa = 2∫0a | 能极大简化计算，考试高频 |
| 变限积分求导 | d/dx ∫ax f(t) dt = f(x) | 推广：d/dx ∫aφ(x) f dt = f(φ(x))·φ′(x) |
| 定积分求面积 | S = ∫ab |f(x) − g(x)| dx | 曲线在 x 轴下方时定积分为负，求面积要取绝对值 |
| 旋转体体积 | V = π∫ab [f(x)]2 dx | 绕 x 轴旋转；绕 y 轴用柱壳法 V = 2π∫ x f(x) dx |
⑤ 常见极限、洛必达法则与泰勒展开
常用极限公式（x → 0 时）
- lim (sin x) ÷ x = 1 —— 第一个重要极限，等价无穷小 sin x ~ x
- lim (1 − cos x) ÷ x2 = 1/2 —— 即 1 − cos x ~ x²/2
- lim (tan x) ÷ x = 1 —— tan x ~ x
- lim (arcsin x) ÷ x = 1，lim (arctan x) ÷ x = 1
- lim (ex − 1) ÷ x = 1 —— ex − 1 ~ x
- lim ln(1 + x) ÷ x = 1 —— ln(1+x) ~ x
- lim [(1 + x)α − 1] ÷ x = α —— (1+x)α − 1 ~ αx
- lim (ax − 1) ÷ x = ln a
- lim (1 + x)1/x = e；当 x → ∞ 时 lim (1 + 1/x)x = e —— 第二个重要极限
- lim x·ln x = 0（x → 0+），lim (ln x) ÷ x = 0（x → +∞）
洛必达法则（L'Hôpital）
- 形式：若 lim f(x) = lim g(x) = 0（或同为 ∞），且 lim f ′(x)/g′(x) 存在或为 ∞，则 lim f(x) ÷ g(x) = lim f ′(x) ÷ g′(x)。
- 只适用于 0/0 与 ∞/∞ 两种未定式，用之前必须先验证。
- 其他未定式（0·∞、∞−∞、1∞、00、∞0）要先化成 0/0 或 ∞/∞： 0·∞ 改写成分式；1∞ / 00 / ∞0 先取对数。
- 可以连续多次使用，但每次都要重新验证是未定式；若求导后越来越复杂，说明该换等价无穷小或泰勒展开。
- 注意：若 lim f ′/g′ 不存在且不是 ∞（如振荡），不能反推原极限不存在。
常用泰勒 / 麦克劳林展开（x → 0）
- ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + … + xn/n! + o(xn)
- sin x = x − x3/3! + x5/5! − … + o(x2n) （奇函数，只有奇次项）
- cos x = 1 − x2/2! + x4/4! − … + o(x2n+1) （偶函数，只有偶次项）
- ln(1 + x) = x − x2/2 + x3/3 − x4/4 + … + o(xn) （−1 < x ≤ 1）
- (1 + x)α = 1 + αx + α(α−1)x2/2! + α(α−1)(α−2)x3/3! + …
- 1 ÷ (1 − x) = 1 + x + x2 + x3 + … （|x| < 1，等比级数）
- arctan x = x − x3/3 + x5/5 − … （|x| ≤ 1）
- tan x = x + x3/3 + 2x5/15 + …
- 泰勒公式一般式：f(x) = Σ f(n)(x0)(x − x0)n ÷ n! + Rn(x)
- 拉格朗日余项：Rn(x) = f(n+1)(ξ)(x − x0)n+1 ÷ (n+1)!
💡 计算器使用说明
- 解析器按
+/-拆项，同次幂项会自动合并同类项，最后按指数从高到低排列。 - 求导使用幂函数法则 (xn)′ = n·xn−1，常数项直接归零；n 阶导数即重复应用 n 次。
- 不定积分使用 ∫xndx = xn+1/(n+1)（n ≠ −1），若出现 x−1 项则给出 ln|x|。
- 定积分按牛顿-莱布尼茨公式 F(b) − F(a) 精确计算；若积分区间跨越了 x = 0 且含负指数项，会给出瑕积分提示。
- 结果中的分数（如 3/5）由计算得到的小数自动还原，便于与手算答案核对。
🚀 你可能也用得上
📘 使用说明
- 浏览上方的基本导数公式表与基本积分公式表
- 在计算器中输入多项式，如 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7
- 选择求导（可指定阶数）或求积分
- 查看结果与逐项计算过程；求定积分时填写上下限自动套用牛顿-莱布尼茨公式
❓ 常见问题
Q: 导数和积分是什么关系？
A: 互为逆运算，这就是微积分基本定理的核心。求导是从原函数得到变化率，积分是从变化率还原原函数。具体说：若 F'(x) = f(x)，则 ∫f(x)dx = F(x) + C（不定积分），且 ∫ₐᵇf(x)dx = F(b) - F(a)（牛顿-莱布尼茨公式）。不定积分末尾必须加常数 C，因为任何常数求导都是 0，原函数不唯一。定积分则是一个确定的数值，几何意义是曲线与 x 轴围成的有向面积。
Q: 链式法则怎么用才不出错？
A: 链式法则处理复合函数：[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)，也就是「外层导数乘内层导数」。关键是先看清楚谁是外层谁是内层。以 sin(3x²) 为例：外层是 sin(u)，内层是 u = 3x²；先对外层求导得 cos(3x²)，再乘内层导数 6x，结果是 6x·cos(3x²)。多层复合就层层剥洋葱，比如 e^(sin(2x)) 的导数是 e^(sin(2x)) · cos(2x) · 2。常见错误是漏乘内层导数，尤其是当内层看起来很简单时（比如把 sin(2x) 的导数写成 cos(2x) 漏了 ×2）。
Q: 洛必达法则什么时候能用？
A: 只能用于 0/0 型和 ∞/∞ 型未定式。使用前必须验证：分子分母极限确实都趋于 0 或都趋于 ∞，且分子分母在该点附近可导、分母导数不为 0。用法是 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)。其他未定式（0·∞、∞-∞、1^∞、0⁰、∞⁰）要先通过变形（通分、取对数、倒数）转化成 0/0 或 ∞/∞ 才能用。注意洛必达不是万能的：有些情况求导后更复杂或者极限不存在（如 lim(x+sinx)/x 在 x→∞ 时），这时要改用其他方法。
Q: 这个计算器能算什么类型的函数？
A: 计算器针对多项式设计，支持形如 axⁿ ± bx^m ± c 的整式，能正确解析系数（含小数与负号）、指数与常数项，可求任意阶导数与不定积分、定积分。暂不支持三角函数、指数对数、分式和根式的符号运算——这类函数请参考上方的公式表手工推导，或使用专业的计算机代数系统。多项式虽然简单，但覆盖了高中和大学微积分入门阶段最常见的练习题型。
