🎲 概率计算器 — 古典概型 / 超几何 / 二项分布 / 贝叶斯 / 正态分布
五合一在线概率计算：古典概型自动约分成分数、小数与百分比；排列组合概率按超几何分布求「取到恰好 r 个」； 二项分布给出恰好 / 至多 / 至少 k 次成功的概率并绘制分布条形图；条件概率与贝叶斯公式展示完整代入过程（含疾病检测经典案例）； 正态分布用误差函数数值逼近计算 P(X < x) 与区间概率，并标注 3σ 原则。所有组合数均使用对数阶乘计算，大数不会溢出。
① 古典概型 P = m / n
等可能事件：样本空间共 n 个基本事件，事件 A 包含其中 m 个，则 P(A) = m ÷ n。适用于掷骰子、摸球、抽签等所有结果等可能的场景。
② 排列组合概率（超几何分布）
从 N 件产品（其中 M 件次品 / 红球）中不放回地取 k 件，恰好取到 r 件的概率： P = C(M, r) × C(N−M, k−r) ÷ C(N, k)。这就是超几何分布，注意与二项分布（有放回）的区别。
③ 二项分布 B(n, p)
n 次独立重复试验，每次成功概率为 p，成功次数 X 服从二项分布： P(X = k) = C(n, k) · pk · (1−p)n−k，期望 E(X) = np，方差 D(X) = np(1−p)。
④ 条件概率与贝叶斯公式
全概率公式：P(B) = P(A)·P(B|A) + P(¬A)·P(B|¬A)； 贝叶斯公式：P(A|B) = P(A)·P(B|A) ÷ P(B)。 用于「已知结果反推原因」，例如检测呈阳性时真正患病的概率。
⑤ 正态分布 N(μ, σ²)
概率密度 f(x) = 1 ÷ (σ√(2π)) · e−(x−μ)²/(2σ²)， 累积分布 Φ(z) = ½[1 + erf(z ÷ √2)]，其中 z = (x − μ) ÷ σ 为标准化值。 本工具使用 Abramowitz-Stegun 有理逼近计算误差函数 erf，精度约 1.5×10−7。
💡 概率常用公式与易错点
- 排列 A(n,m) = n!/(n−m)! 讲顺序，组合 C(n,m) = n!/(m!(n−m)!) 不讲顺序；先判断「取出后是否要排序」。
- 互斥事件：P(A∪B) = P(A) + P(B)；一般事件：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)。互斥 ≠ 独立。
- 独立事件：P(AB) = P(A)P(B)；条件概率定义式 P(B|A) = P(AB) ÷ P(A)（要求 P(A) > 0）。
- 对立事件：P(¬A) = 1 − P(A)。求「至少一个」时用对立事件往往最快。
- 有放回抽取用二项分布，不放回抽取用超几何分布；当 N 远大于 k 时两者近似相等。
- 贝叶斯问题中最容易忽略的是基础率（先验概率）：即便检测准确率 99%，罕见病阳性者真正患病的概率也可能很低。
🚀 你可能也用得上
五合一概率计算工具：古典概型分数约分显示、超几何分布（摸球问题）、二项分布（含条形分布图）、条件概率与贝叶斯公式（附疾病检测经典案例）、正态分布区间概率（erf 数值近似）。大数计算采用对数阶乘防溢出。
📘 使用说明
- 根据题型选择对应模块：古典概型、排列组合、二项分布、贝叶斯或正态分布
- 填入题目给定的参数
- 查看概率结果与公式代入过程
- 二项分布模块可查看完整的概率分布条形图
