🎲 概率计算器 — 古典概型 / 超几何 / 二项分布 / 贝叶斯 / 正态分布

Q: 正态分布的 3σ 原则是什么？

指正态分布中数据落在均值附近若干标准差范围内的概率：μ±1σ 约 68.27%，μ±2σ 约 95.45%，μ±3σ 约 99.73%。也就是说超出 3 个标准差的事件发生概率不到 0.3%，属于小概率事件。这个原则在质量管理（六西格玛的雏形）、异常值检测、金融风控中被广泛使用。工业上的「六西格玛」标准要求缺陷率低于百万分之 3.4，对应的是考虑了 1.5σ 长期漂移后的 4.5σ 水平。

Q: 组合数很大时会不会算错？

不会。工具在计算大组合数 C(n,k) 时采用了对数阶乘（lgamma）或循环连乘边乘边约分的方式，避免了直接计算阶乘导致的数值溢出。例如 C(100,50) 约等于 1.009×10²⁹，如果先算 100! 会得到约 9.33×10¹⁵⁷，远超 JavaScript 双精度浮点数的安全整数范围，必然失真。采用对数运算后，即使 n 达到几千量级，概率结果仍能保持足够精度。

五合一在线概率计算：古典概型自动约分成分数、小数与百分比；排列组合概率按超几何分布求「取到恰好 r 个」； 二项分布给出恰好 / 至多 / 至少 k 次成功的概率并绘制分布条形图；条件概率与贝叶斯公式展示完整代入过程（含疾病检测经典案例）； 正态分布用误差函数数值逼近计算 P(X < x) 与区间概率，并标注 3σ 原则。所有组合数均使用对数阶乘计算，大数不会溢出。

① 古典概型 P = m / n

等可能事件：样本空间共 n 个基本事件，事件 A 包含其中 m 个，则 P(A) = m ÷ n。适用于掷骰子、摸球、抽签等所有结果等可能的场景。

样本空间总数 n

事件 A 包含数 m

② 排列组合概率（超几何分布）

从 N 件产品（其中 M 件次品 / 红球）中不放回地取 k 件，恰好取到 r 件的概率： P = C(M, r) × C(N−M, k−r) ÷ C(N, k)。这就是超几何分布，注意与二项分布（有放回）的区别。

总数 N

其中特殊品数 M（如红球）

抽取件数 k

恰好取到 r 件

③ 二项分布 B(n, p)

n 次独立重复试验，每次成功概率为 p，成功次数 X 服从二项分布： P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1−p)^n−k，期望 E(X) = np，方差 D(X) = np(1−p)。

试验次数 n

单次成功概率 p

成功次数 k

④ 条件概率与贝叶斯公式

全概率公式：P(B) = P(A)·P(B|A) + P(¬A)·P(B|¬A)；贝叶斯公式：P(A|B) = P(A)·P(B|A) ÷ P(B)。用于「已知结果反推原因」，例如检测呈阳性时真正患病的概率。

P(A) 先验概率

P(B|A) 真阳性率（灵敏度）

P(B|¬A) 假阳性率

⑤ 正态分布 N(μ, σ²)

概率密度 f(x) = 1 ÷ (σ√(2π)) · e^{−(x−μ)²/(2σ²)}，累积分布 Φ(z) = ½[1 + erf(z ÷ √2)]，其中 z = (x − μ) ÷ σ 为标准化值。本工具使用 Abramowitz-Stegun 有理逼近计算误差函数 erf，精度约 1.5×10⁻⁷。

均值 μ

标准差 σ

取值 x（算 P(X < x)）

区间下限 a

区间上限 b

💡 概率常用公式与易错点

排列 A(n,m) = n!/(n−m)! 讲顺序，组合 C(n,m) = n!/(m!(n−m)!) 不讲顺序；先判断「取出后是否要排序」。
互斥事件：P(A∪B) = P(A) + P(B)；一般事件：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)。互斥 ≠ 独立。
独立事件：P(AB) = P(A)P(B)；条件概率定义式 P(B|A) = P(AB) ÷ P(A)（要求 P(A) > 0）。
对立事件：P(¬A) = 1 − P(A)。求「至少一个」时用对立事件往往最快。
有放回抽取用二项分布，不放回抽取用超几何分布；当 N 远大于 k 时两者近似相等。
贝叶斯问题中最容易忽略的是基础率（先验概率）：即便检测准确率 99%，罕见病阳性者真正患病的概率也可能很低。

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📘 使用说明

根据题型选择对应模块：古典概型、排列组合、二项分布、贝叶斯或正态分布
填入题目给定的参数
查看概率结果与公式代入过程
二项分布模块可查看完整的概率分布条形图

❓ 常见问题

Q: 贝叶斯公式为什么反直觉？疾病检测的例子怎么理解？

A: 经典案例：某罕见病发病率 0.1%，检测准确率 99%（患病者 99% 检出阳性，健康者 99% 检出阴性）。若某人检测阳性，他真患病的概率是多少？直觉常答 99%，正确答案只有约 9%。原因是基础率太低：10 万人中只有 100 人患病（99 人检出阳性），而 99900 个健康人中有 999 人被误判为阳性，所以 1098 个阳性里只有 99 个真病人，99/1098 ≈ 9%。这就是「基础率谬误」，提醒我们评估证据时不能忽略先验概率。

Q: 二项分布和超几何分布怎么区分？

A: 看抽样是否放回。二项分布对应有放回抽样（或总体极大时的近似），每次试验成功概率 p 恒定且相互独立，如抛硬币 10 次、射击 5 次命中率固定。超几何分布对应不放回抽样，每抽一次总体就变化，后续概率随之改变，如从 50 个产品（含 5 个次品）中一次抽 10 个求恰好 2 个次品。经验规律：当总体量 N 远大于样本量 n（一般 n/N < 5%）时，超几何分布可用二项分布近似，误差很小。