➡️ 向量计算器 — 二维/三维加减、点积、叉积、夹角与投影
输入向量 a 与 b 的分量，一键算出加法、减法、数乘、数量积（点积）、向量积（叉积）、模长、夹角、单位向量、投影， 并判断两向量是否平行或垂直。每一步都给出公式代入过程，二维时还会实时绘制向量图示，适合高中数学、线性代数与物理受力分析使用。
① 输入向量
向量 a
向量 b
② 向量图示（二维）
向量 a
向量 b
a + b（平行四边形法则）
a 在 b 上的投影向量
夹角 θ
图示按当前分量自动缩放，网格间距会随向量大小变化；切换到三维时图示自动隐藏。
③ 计算步骤（公式代入过程）
④ 向量公式速查卡
| 名称 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 加法（坐标） | a + b = (ax+bx, ay+by, az+bz) | 三角形法则 / 平行四边形法则，满足交换律与结合律 |
| 减法（坐标） | a − b = (ax−bx, ay−by, az−bz) | a − b 是从 b 的终点指向 a 的终点的向量 |
| 数乘 | k·a = (kax, kay, kaz) | k > 0 同向、k < 0 反向，|k·a| = |k|·|a| |
| 模长 | |a| = √(ax2 + ay2 + az2) | 即向量长度，恒有 |a| ≥ 0 |
| 数量积（点积） | a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ | 结果是标量；a·b = 0 ⟺ a ⟂ b（非零向量） |
| 夹角公式 | cos θ = (a·b) ÷ (|a|·|b|) | θ ∈ [0°, 180°]；a·b > 0 为锐角，< 0 为钝角 |
| 向量积（叉积，3D） | a × b = (aybz−azby, azbx−axbz, axby−aybx) | 结果是向量，方向由右手螺旋定则确定，且 a × b = −(b × a) |
| 叉积模长 | |a × b| = |a||b|sin θ | 等于以 a、b 为邻边的平行四边形面积 |
| 二维标量叉积 | a × b = axby − aybx | 即行列式值，绝对值为平行四边形面积；为 0 ⟺ a ∥ b |
| 单位向量 | â = a ÷ |a| | 与 a 同向且模长为 1，零向量没有单位向量 |
| 投影长度 | |a|cos θ = (a·b) ÷ |b| | a 在 b 方向上的标量投影，可为负 |
| 投影向量 | projba = ((a·b) ÷ |b|2) · b | a 在 b 上的向量投影，方向与 b 平行 |
| 平行判定 | a ∥ b ⟺ a × b = 0 ⟺ a = λb | 二维即 axby − aybx = 0 |
| 垂直判定 | a ⟂ b ⟺ a·b = 0 | 两非零向量点积为零即互相垂直 |
| 两点间向量 | AB = (x2−x1, y2−y1, z2−z1) | 终点坐标减起点坐标，其模即两点距离 |
| 三角形面积 | S = ½|a × b| | 以 a、b 为两边的三角形面积 |
| 混合积（体积） | (a × b)·c | 绝对值为以 a、b、c 为棱的平行六面体体积 |
| 余弦定理形式 | |a − b|2 = |a|2 + |b|2 − 2a·b | 由点积展开得到，是余弦定理的向量表达 |
💡 使用小贴士
- 二维向量可以看作 z 分量为 0 的三维向量，因此二维的「叉积」只剩 z 分量，退化为一个标量。
- 点积用来求夹角与投影（物理里对应「功 W = F·s」），叉积用来求面积与法向量（物理里对应「力矩 M = r × F」）。
- 判断三点 A、B、C 是否共线，可以算 AB × AC 是否为零向量。
- 零向量与任何向量都平行，但通常不讨论它的方向与夹角，本工具会单独提示。
- 夹角结果同时给出角度与弧度，1 rad = 180°/π ≈ 57.2958°。
🚀 你可能也用得上
📘 使用说明
- 选择二维或三维模式
- 输入向量 a 与向量 b 的各个分量
- 查看加减、点积、叉积、模长、夹角等全部结果与计算步骤
- 二维模式下可查看 SVG 图示中两向量的相对位置与夹角
❓ 常见问题
Q: 点积和叉积有什么区别？分别有什么用？
A: 点积（数量积）a·b = |a||b|cosθ = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂，结果是一个标量（数），几何意义是 a 在 b 方向上的投影长度乘以 |b|，主要用于求夹角、判断垂直（点积为 0）、计算功（W = F·s）。叉积（向量积）a×b 的结果是一个向量，方向垂直于 a、b 所在平面（右手定则），模长 |a||b|sinθ 等于两向量张成的平行四边形面积，主要用于求法向量、判断平行（叉积为零向量）、计算力矩和角动量。二维向量没有真正的叉积，但可以定义标量叉积 x₁y₂-x₂y₁，表示有向面积。
Q: 怎么判断两个向量平行或垂直？
A: 垂直的充要条件是点积为 0：x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ = 0。平行（共线）的充要条件是叉积为零向量，等价于对应分量成比例：x₁/x₂ = y₁/y₂ = z₁/z₂（分母为 0 时需单独讨论）。二维情况下平行的判定更简单：x₁y₂ - x₂y₁ = 0。注意零向量与任何向量都平行也都垂直，讨论时通常要排除零向量。
Q: 向量投影怎么理解？投影向量和投影长度是一回事吗？
A: 不是一回事。a 在 b 上的投影长度（也叫标量投影）是 |a|cosθ = (a·b)/|b|，是一个带符号的数，正负表示投影方向与 b 同向还是反向。投影向量则是 ((a·b)/|b|²) × b，是一个真正的向量，方向沿着 b（或其反方向），长度等于投影长度的绝对值。在物理中求分力、在机器学习中做向量分解时用的都是投影向量；求功、求分量大小时用标量投影。
Q: 夹角算出来是钝角说明什么？
A: 说明两个向量的点积为负。夹角 θ = arccos((a·b)/(|a||b|))，取值范围是 0° 到 180°。θ < 90°（点积为正）表示两向量大致同向，θ = 90°（点积为 0）表示垂直，θ > 90°（点积为负）表示大致反向。在实际应用中，比如推荐系统的余弦相似度，负值意味着两个特征向量呈负相关；在物理中，力与位移夹角为钝角意味着做负功（如摩擦力）。
