🔲 矩阵计算器 — 加减 / 乘法 / 转置 / 行列式 / 逆矩阵 / 秩
支持 2×2 到 4×4 任意维度矩阵。一键完成 A+B、A−B、A×B、转置 Aᵀ、行列式 |A|、逆矩阵 A⁻¹（高斯消元）、 矩阵的秩 rank(A)、数乘 kA，并展示完整的运算步骤。线性代数作业与考研复习必备。
矩阵 A
行 × 列矩阵 B
行 × 列
数乘标量 k =
（点击「k · A 数乘」按钮生效）
👆 请点击上方任意运算按钮开始计算
📝 运算步骤
- 点击运算按钮后，这里会显示详细的推导过程。
💡 矩阵运算规则速记
- 加减法：两个矩阵必须行数、列数完全相同，然后对应位置元素相加减
- 乘法：A(m×n) × B(n×p) 要求 A 的列数 = B 的行数，结果是 m×p 矩阵；元素 cᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ·bₖⱼ（A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应相乘再求和）
- 矩阵乘法不满足交换律：一般 AB ≠ BA，顺序很重要
- 转置：把行变成列，A(m×n) 的转置是 n×m 矩阵，(Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ
- 行列式：只有方阵才有行列式。2×2 时 |A| = ad − bc；高阶可按行（列）展开或用高斯消元化上三角后取对角线乘积
- 逆矩阵：只有方阵且 |A| ≠ 0（非奇异矩阵）才可逆。满足 A·A⁻¹ = A⁻¹·A = E（单位矩阵）
- 求逆方法：把 [A | E] 用初等行变换化为 [E | A⁻¹]，右半部分就是逆矩阵
- 秩 rank(A)：把矩阵化为行阶梯形后非零行的个数，反映矩阵行（列）向量组的极大无关组大小。n 阶方阵可逆 ⟺ rank = n ⟺ |A| ≠ 0
- 数乘：k·A 表示把 A 的每一个元素都乘以 k（注意与行列式的 |kA| = kⁿ|A| 区分）
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📘 使用说明
- 设置矩阵的行数与列数
- 在网格中填入矩阵元素
- 点击对应的运算按钮
- 查看表格形式的运算结果
❓ 常见问题
Q: 矩阵乘法有什么维度要求？
A: A×B 要求 A 的列数等于 B 的行数，结果矩阵的行数取自 A、列数取自 B。维度不匹配时工具会直接提示，不会给出错误结果。
Q: 什么样的矩阵没有逆矩阵？
A: 只有方阵才可能有逆矩阵，且行列式必须不为零。行列式为零意味着矩阵的行（或列）线性相关，此时矩阵奇异不可逆，工具会明确提示。
Q: 矩阵的秩是什么意思？
A: 秩等于矩阵中线性无关的行（或列）的最大个数，可以通过高斯消元化为阶梯形后数非零行得到。秩反映了矩阵所包含的有效信息维度。
